L’essentiel est d’avoir bien assimilé ce qu’est réellement une fonction :

Une fonction est un moyen pratique de définir en une seule fois un lien entre un ensemble de nombre de départ (les antécédents) et un ensemble de nombre d’arrivée (les images), chaque antécédent étant liée de manière UNIQUE à UNE image (pour plus de détails sur les fondement de la notion de fonction rendez vous à la page « fonction »).

Là où la notion de fonction devient facile à utiliser c’est lorsque la fonction est continue, c’est-à-dire que si deux antécédent sont infiniment proches, leur images le sont également. Cette propriété essentielle fait que l’on peut développer de nombreux outils, dérivée, intégrale, limites, permettant de caractériser d’un seul coup toutes les images (ou « ordonnées ») liées à l’ensemble d’antécédents (ou « abscisse »).

Si ces idées sont bien claires dans votre esprit, alors la fonction exponentielle ne vous paraîtra pas du tout exotique, pas plus que les fonctions cos, sin, x^n, ou ax+b ne doivent l’être.

Il s’agit, comme bien d’autres fonctions continues, d’une loi qui permet de relier un ensemble d’antécédents (l’ensemble des nombres réels) à un ensemble d’images (l’ensemble des réels positifs) et dont on peut définir les comportements grâce à sa dérivée qui est égale à la fonction exponentielle elle-même.

Pour pouvoir travailler aisément avec cette fonction on prouvera qu’il existe un certain nombre de propriétés de calcul sur la somme ou le produit de plusieurs exponentielles entre elles par exemple mais il ne s’agira là que d’outils pratiques, qu’il faudra absolument connaître par cœur pour pouvoir travailler efficacement avec ces fonctions (cf fichiers « les indispensables »).

Alors, puisque l’exponentielle n’est rien de plus que n’importe quelle autre fonction continue, on peut se demander pourquoi particulariser cette fonction précise et lui consacrer tant d’intérêt. La raison la plus simple et qui fait que tout élève de terminale scientifique doit impérativement connaître l’exponentielle au plus vite, c’est que cette fonction est la solution de très nombreux problèmes de physique et de chimie.

C’est en effet la solution des équations différentielles linéaires de premier ordre (EDL) comme nous le verrons rapidement dans ce chapitre et plus en détail dans celui consacré aux EDL.

Il est donc essentiel d’apprivoiser cette fonction, d’en connaître le comportement pour véritablement l’assimiler et pouvoir raisonner dessus rapidement. Le meilleur moyen de « sentir » une fonction est d’en connaître la représentation graphique (ou graphe). Cet outil permet de visualiser clairement le lien entre les abscisses (antécédents) et les ordonnées (images).

Les principales caractéristiques de la fonction exponentielles vous seront familière lorsque vous aurez vu et revu ce graphe d’une fonction continûment croissante et dont la vitesse de croissance ne cesse d’augmenter. Une courbe qui ne se trace que sur la partie supérieure d’un repère orthonormé car toutes les images sont positives. Une fonction qui ne cesse de croître puisque sa limite est l’infini lorsque les valeurs des abscisses deviennent grandes mais qui tend vers 0 si les abscisses deviennent petites.

Dans ce chapitre vous trouverez donc la présentation de la fonction exponentielle introduite à partir de l’équation différentielle dont elle est solution. Une fois définie, l’étude complète de la fonction exponentielle sera menée avec sa représentation graphique, ses principales propriétés calculatoires, et quelques comparaisons avec d’autres fonctions.

Enfin les liens entre la fonction exponentielle la fonction ln ou encore les suites numériques et quelques applications physiques seront abordées.