QUELQUES EXEMPLES DE REPONSES FOURNIES PAR NOTRE EQUIPE



Exemple 1 : nombre complexes (posée le 08/01/2007)

Question

Boujour,
pouvez vous m'aider pour cet exercice, car j'ai beaucoup de mal à le faire...svp
Merci d'avance.

On désigne par j le nombre complexe e^(i2pi/3)
1) Déterminer les réels a, b et c tels que z^3-1=(z-1)(az^2+bz+c) _
2) Résoudre l'équation z^ 3=1 ; montrer que les solutions de cette équation sont 1, j, j. _
3) Justifier que j = j^2 puis calculer 1+j+j^2.
4) Le plan étant muni d'un repère orthonormal direct tracer les points E, F, G images respectives de 1, j et j^2 puis justifier que EFG est un triangle équilatéral direct.
5) Soient A, B, C trois points du plan d'affixes respectives a, b, c ; justifier que ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement si a+bj+cj^2 = 0


Réponse

1) on developpe et on "identifie", il y a un resultat qu'on voit plus tard dans les etudes qui dit que 2 polynomes sont egaux si et seulement si leurs coefficients sont les meme.
(z-1)(az^2+bz+c) = az³+(b-a)z²+(c-b)z-c
or z³-1=(z-1)(az²+bz+c)
d'ou
a=1 et c=1
les termes en z et z² sont nuls, donc a=b et c=b.


2) on cherche z sous la forme r*e^(i*t)
z³=1 donc |z³|=|z|³=1=r
donc e^(i*t)^3=e^(3it)=1
d'ou 3it = 2kpi, k etant un entier relatif.
k=0 => t=0 => z=1
k=1 => t=2pi/3 => z=j
k=2 => t=4pi/3 => z=j²
pour k plus grand, on retombe sur les 3 solutions, en rajoutant un 2*k*pi, donc ca ne nous interesse pas.

3) plein de solutions, la plus simple etant de passer par l'ecriture r*e^(i*t) et de constater.

pour la somme, c'est la somme des trois premiers termes d'une suite geometrique:
(1-j*j*j)/(1-j), or j puissance 3 egale 1, donc la somme est nulle.


mais si c'est un trop complique, on peut passer par l'ecriture en cosinus et sinus, on trouve aussi 0, mais c'est plus long a ecrire.

4)suffit de calculer les modules des differences :
EF=|j-1|
FG=|j²-j|=|j||j-1|=|j-1|
GE=|1-j²|=|j³-j²|=|j²||j-1|=|j-1|
puisque j et j² ont pour module 1.
on a bien triangle equilateral.
pour ce qui est du direct, on va considerer un angle, par exemple EFG :
soit Z = (E-F)/(G-F)=(1-j)/(j²-j) = 1/j
EFG = arg(Z) = arg(1/j)=-arg(j)=-2*pi/3, ce qui est coherent, il est compris entre 0 et -pi pour un triangle direct.

on pouvait se contenter de seulement 2 angles egaux et d'un angle de -pi/3, donc que |Z|=1 et arg(Z)=-2*pi/3
ce qui equivaut a j(E-F)=(G-F) 5) d'apres ce qu'on a dit avant, si on a j(a-b)=(c-b), on a les egalites pour Z et on a un triangle equilaterale direct. ici Z=(a-b)/(c-b)

a+bj+cj²=0
<=> aj+bj²+c=0 on multiplie par j
<=> aj+b(-1-j)+c=0 ca 1+j+j²=0
<=> j(a-b)=b-c
<=> arg(Z)=-2*pi/3 et |Z|=1 avec Z=(a-b)/(c-b)
<=> ABC est un triangle equilateral direct.

on a bien montre l'equivalence.